音乐人可能是天生的数学家

　　九月十六日晚，来自北京大学的王教授，为我们带来一种新角度去联系地理解音乐、欣赏数学。

　　在讲座的开始，电影《2001太空漫游》的片头配乐，即理查Ÿ施特劳斯的《查拉图斯特拉如是说》，以小号演奏与和谐的五度音程和四度音程，揭示了频率比例与音乐的关系，拉开本次讲座的序幕。

　　早在古希腊的毕达哥拉斯就认为音乐是数学的应用，音乐中体现使和谐的基础是数的比例，例如，纯五度的频率比例是3:2，纯四度是4:3，两者相乘即为二比一。在之后的历史中，也不断有人意识到音乐与数学存在某种联系，莱布尼茨在信件中就曾对哥德巴赫表示“音乐中的快乐愉悦来自无意识的算数”，而德彪西表示“音乐是声音的算数，像光学是光线的几何”。认为音乐是“赞颂上帝的和谐声音”的巴赫，在其作曲方式于研究数学者看来同样有所渊源，也就成就了其宗教咏叹音乐的深沉、悲壮、广阔、内在的风格。

　　中国古代也对音乐与数学的关系有类似的思考，河南省舞阳县贾湖新石器时代遗址墓葬群出土的骨笛多为7孔，孔边有为了找到钻孔位置相应的刻画痕迹，说明笛孔的位置不是随意的，而是是经由精心规划好的。这便引出了王教授对乐音体系的介绍

　　 王教授讲解分为两部分，第一部分介绍了乐音体系的确定方法，乐音体系是演奏中所使用的、具有固定音高的所有音的集合，集合中

　　的每一个元素称为音级。“三分损益法”是由 《史记》也记载了确定音律的方法，管仲提出将宫音的弦长定为81，交替乘4/3和2/3，可以得到徵、商、羽、角，组成了五声音阶，七声音阶则是在五声音阶的基础上加上变徵与变宫。总而言之，律学的基本问题是如何确定各个音级，包括确定绝对音高和相对音高。通过比例确定音高的方法在中国与西方都有记载。

　　毕达哥拉斯提出了五度相生法，方法是从基音开始不断乘3/2再除2，得到一个八度之内的七个音。但是对于这种律，三度和六度音程并不和谐，并且通过这种方法最后不能准确回到基音，而与基音有一个毕达哥拉斯音差，它在中国也称为“旋宫不归”。

　　王教授所展示的，我所挚爱的教皇合唱团，Gregorion chants中四度和五度音程较为和谐的五度相生法就足够了。 文艺复兴起人们认为只有四度和五度的音乐不够丰富，开始重视三度和六度音程，这就促进人们改进三度和六度音程，产生了纯律比五度相生律更加悦耳，但缺点在于D-A音程不和谐，并且有两种不同的大二度。

　　王教授举例了巴赫在致腓特烈二世的《音乐的奉献》中一首“经由种种调性的卡农”，其中巴赫写道，“随着转调的升高，国王的荣耀也在升高”。相对应地，在中国，朱载堉在《律吕精义》中提出了与十二平均律相同的新法密律，并最先用珠算方法精确计算出平均律。

　　第二部分，王教授讲到了音乐中的对称。第一种对称是移调，即单纯降低度数。第二种对称是逆行，即对前面旋律从尾到头的反向重复，王教授举例了巴赫的《音乐的奉献》的一个片段，并用精美的动画呈现了两个声部以莫比乌斯带的结构连接和逆行，组成和谐丰富的旋律。第三种对称是倒影，即以某个水平线为基准，一段旋律上下颠倒。他举例了苏萨《雷神》中的片段。

　　音乐随着时间也在不断发展，传统的调性音乐总有一个主音，其他音从属于主音，而20世纪则产生了对这种调性音乐的背离。勋伯格的十二音技术就打破传统调性音乐对作曲家自由发挥的桎梏，数学给音乐带来的可能性受到了勋伯格的重视。

　　最后，王教授介绍了音乐与计算机的关系。一种新的作曲方式借鉴了随机过程中马尔可夫链及概率转移矩阵，通过设定矩阵的各项参数，使计算机根据初始音的序列自动生成新的旋律。另外的尝试还有π之歌，其中钢琴的右手按照π值演奏，左手按a小调分解和弦，虽然旋律可以无限演进，但由于左手的分解和弦，听起来依旧较为传统。

　　音乐无所不在，因为和谐总被接受。数学无所不在，因为可以演绎和谐。在最后提问，有一位同学问到如何在听音乐中识别数学，王教授的回答值得大家的掌声，体现着一种不拘泥的思维：“我想，你在欣赏音乐的时候，还是忘记数学吧！” 在最后，感谢曾经北大的同学们整理的王老师讲座的新闻稿，使得数学基础薄弱的文科生们，可以用理性回味王老师精彩的思想。

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